Phân tích hàm số Đa thức \(f(x)\) bậc \(4\) có \(4\) nghiệm dương phân biệt. Các nghiệm này được ký hiệu là \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\) với \(0<x_{1}<x_{2}<x_{3}0\), nên \(y_{i}>2\). Tại các nghiệm \(y_{i}\), \(f(y_{i}-2)=0\). Hàm số \(g(x)\) có dạng \(g(x)=x^{4}[f(x-2)]^{2}\). Tại các điểm \(y_{i}\), \(g(y_{i})=(y_{i})^{4}[f(y_{i}-2)]^{2}=(y_{i})^{4}\cdot 0^{2}=0\). Đạo hàm \(g^{\prime }(x)\) có chứa thừa số \([f(x-2)]^{2}\). Tại các điểm \(y_{i}\), \(g^{\prime }(y_{i})=0\). Đạo hàm cấp hai \(g^{\prime \prime }(x)\) được xét. \(g^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}(2x^{3}f(x-2)[2f(x-2)+xf^{\prime }(x-2)])\) \(g^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3}[f(x-2)]^{2}+2x^{4}f(x-2)f^{\prime }(x-2))\) Tại các điểm \(y_{i}\), \(f(y_{i}-2)=0\). \(g^{\prime \prime }(y_{i})=\frac{d}{dx}(4x^{3}[f(x-2)]^{2})|_{x=y_{i}}+\frac{d}{dx}(2x^{4}f(x-2)f^{\prime }(x-2))|_{x=y_{i}}\) \(g^{\prime \prime }(y_{i})=0+2(y_{i})^{4}[f^{\prime }(y_{i}-2)]^{2}\) Vì \(x_{i}\) là các nghiệm phân biệt, nên \(f^{\prime }(x_{i})\ne 0\). Do đó \(f^{\prime }(y_{i}-2)\ne 0\). \(g^{\prime \prime }(y_{i})=2(y_{i})^{4}[f^{\prime }(y_{i}-2)]^{2}>0\) Vì \(g^{\prime \prime }(y_{i})>0\), các điểm \(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\) là các điểm cực tiểu của hàm số \(g(x)\). Xét nghiệm \(x=0\) Tại \(x=0\), \(g^{\prime }(0)=0\). \(g(x)=x^{4}[f(x-2)]^{2}\). \(g(0)=0^{4}[f(-2)]^{2}=0\). \(g(x)\ge 0\) với mọi \(x\) vì \(x^{4}\ge 0\) và \([f(x-2)]^{2}\ge 0\). Vì \(g(0)=0\) là giá trị nhỏ nhất cục bộ (và toàn cục) của hàm số, \(x=0\) là một điểm cực tiểu. Xét nghiệm \(2f(x-2)+xf^{\prime }(x-2)=0\) Phương trình này có thể được viết lại. Xét hàm số \(h(x)=x^{2}f(x-2)\). Đạo hàm của \(h(x)\) là: \(h^{\prime }(x)=2xf(x-2)+x^{2}f^{\prime }(x-2)=x[2f(x-2)+xf^{\prime }(x-2)]\) Phương trình \(2f(x-2)+xf^{\prime }(x-2)=0\) tương đương với \(h^{\prime }(x)=0\) (với \(x\ne 0\)). Các nghiệm của \(h^{\prime }(x)=0\) là các điểm cực trị của hàm số \(h(x)=x^{2}f(x-2)\). Hàm số \(h(x)\) có các nghiệm là \(x=0\) (nghiệm bội \(2\)) và \(x=y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\) (nghiệm đơn). Các nghiệm của \(h(x)\) được sắp xếp: \(0,y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\). Theo định lý Rolle, giữa hai nghiệm liên tiếp của \(h(x)\) có ít nhất một nghiệm của \(h^{\prime }(x)\). Các khoảng nghiệm là \((0,y_{1})\), \((y_{1},y_{2})\), \((y_{2},y_{3})\), \((y_{3},y_{4})\). Trong mỗi khoảng này có ít nhất một nghiệm của \(h^{\prime }(x)\). Tổng cộng có ít nhất \(4\) nghiệm phân biệt cho phương trình \(2f(x-2)+xf^{\prime }(x-2)=0\). Các nghiệm này được ký hiệu là \(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\). Các nghiệm \(z_{i}\) không trùng với \(0\) hoặc \(y_{i}\). Tại các điểm \(z_{i}\), \(g^{\prime }(z_{i})=0\). Các điểm \(z_{i}\) là các điểm cực trị của \(h(x)\), nên \(h^{\prime }(x)\) đổi dấu khi đi qua \(z_{i}\). \(g^{\prime }(x)=2x^{3}f(x-2)[2f(x-2)+xf^{\prime }(x-2)]=2x^{2}f(x-2)h^{\prime }(x)\). Khi đi qua \(z_{i}\), \(h^{\prime }(x)\) đổi dấu. \(x^{2}>0\) và \(f(x-2)\ne 0\) tại \(z_{i}\). Do đó, \(g^{\prime }(x)\) đổi dấu khi đi qua \(z_{i}\). Các điểm \(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\) là các điểm cực trị. Tổng số điểm cực trị Các điểm cực trị đã tìm được là: \(1\). \(x=0\) (cực tiểu). \(2\). \(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\) (cực tiểu). \(3\). \(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\) (cực trị). Tổng số điểm cực trị là \(1+4+4=9\). Tất cả các điểm này đều phân biệt.